Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Lời giải chi tiết:

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \,\,AC$ là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)

$\Rightarrow$ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $\widehat {SCA} = {30^0}.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \,\,BC \bot \left( {SAB} \right)\,\, \Rightarrow \,\,SB$ là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB).

$\Rightarrow$ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là $\widehat {BSC} = {30^0}.$

Đặt $AB = x\,\, \Rightarrow \,\,AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{x^2} + {a^2}} \,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}SA = AC.\tan \widehat {SCA} = \sqrt {\frac{{{x^2} + {a^2}}}{3}} \\SB = \frac{{BC}}{{\tan \widehat {BSC}}} = a\sqrt 3\end{array} \right.$

Tam giác SAB vuông tại $A\,\, \Rightarrow \,\,S{A^2} + A{B^2} = S{B^2}$$\Leftrightarrow \,\,\frac{{{x^2} + {a^2}}}{3} + {x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow \frac{4}{3}{x^2} = \frac{8}{3}{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 .$

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là $S = AB\,\, \times \,BC = {a^2}\sqrt 2 .$

Chọn C.