Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác

Lời giải chi tiết:

Do \(\left( P \right)\bot AB\Rightarrow \left( P \right)\parallel SA.\)

Gọi I là trung điểm của \(SB\Rightarrow MI\parallel SA\Rightarrow MI\subset \left( P \right).\)

Gọi N là trung điểm của \(CD\Rightarrow MN\bot AB\Rightarrow MN\subset \left( P \right).\)

Gọi K là trung điểm của \(SC\Rightarrow IK\parallel BC\),

Mà \(MN\parallel BC\Rightarrow MN\parallel IK\Rightarrow IK\subset \left( P \right).\)

Vậy thiết diện của (P) và hình chóp là hình thang MNKI vuông tại M và I.

Ta có: MI là đường trung bình của tam giác SAB \(\Rightarrow MI=\frac{1}{2}SA=3.\)

IK là đường trung bình của tam giác SBC \(\Rightarrow IK=\frac{1}{2}BC=3.\)

MN là đường trung bình của hình thang ABCD\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}\left( AD+BC \right)=7.\)

Vậy \({{S}_{MNKI}}=\frac{IK+MN}{2}.MI=\frac{3+7}{2}.3=15.\)

Chọn C.