Phương pháp giải:

Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng $AC$ và $BD$, từ đó tính độ dài đoạn thẳng đó ta sẽ được khoảng cách giữa hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $BD,AC$, ta có:

$DF\bot AC;BF\bot AC\Rightarrow AC\bot \left( BDF \right)\Rightarrow AC\bot FE$.

Mà $DF=\frac{a\sqrt{3}}{2}=BF\Rightarrow \Delta BFD$ cân tại $F\Rightarrow FE\bot BD$.

Vậy $FE$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $AC$ và $BD$.

Xét $\Delta BFE$ vuông tại $E$ ta có:

$FE=\sqrt{B{{F}^{2}}-B{{E}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy $d\left( AC;BD \right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Chọn B.