Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết về tính đồng biến của hàm số

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\cot 2x = t\left( {t \in R} \right)\). Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số \(y = \dfrac{{t + m + 2}}{{t - m}}\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 2m - 2}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}}\). Hàm số nghịch biến trên  \(\left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\) khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{ - 2m - 2}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}} \le 0}\\{m \notin \left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 1\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 \le m \le 0\\m \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

Khi \(m=-1\) hàm số trở thành \(y = \dfrac{{t + 1}}{{t + 1}} = 1 \Rightarrow \) hàm số ban đầu trở thành hàm hằng nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < m \le 0\\m \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\).

Chọn C.