Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số bậc ba \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau nếu phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) với \(Ox\) có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \({x_2} = \frac{{{x_1} + {x_3}}}{2}\) hay điểm \(B\left( {{x_2};0} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 6x\\y'' = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow U\left( {1;2m - 1} \right)\end{array}\)

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm uốn \(U\left( {1;2m - 1} \right)\).

Bài toán thỏa mãn \( \Leftrightarrow U\) nằm trên trục hoành \( \Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).

Chọn D