Phương pháp giải:

Từ bảng biến thiên ta suy luận ra đồ thị hàm số y = f(x) sau đó ta vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$  bằng cách như sau:

Bước 1: Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

Bước 2: Giữ nguyên đồ thị (C) phía trên trục hoành.

Bước 3: Lấy đối xứng với phần đồ thị (C) phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ đi phần đồ thi phía dưới trục hoành)

Bước 4: Hợp 2 phần đồ thị trên chính là đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$

Lời giải chi tiết:

+) Đây là đồ thị hàm số bậc 3: $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;0) nên  d = 0

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;-1) nên ta có: $a + b + c =  - 1\,\,\,\,(1)$

$y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow y' = 3a{x^2} + 2bx + c$

Vì $\left( {0;0} \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên $x = 0$ là nghiệm của $y' \Rightarrow c = 0$.

+) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (1;-1) nên $x =  - 1$ là nghiệm của $y'$ ta có: $3a + 2b = 0$

Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}a + b + c =  - 1\\c = 0\\3a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right.$

Từ đó ta có hàm số cần tìm là: $y = 2{x^3} - 3{x^2}$

Vẽ đồ thị hàm số: $y = \left| {2{x^3} - 3{x^2}} \right|$ ta được: 

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: Phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{2}{e}$  có 4 nghiệm thực.

Chọn đáp án A.