Câu hỏi:
Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không đổi bằng \(8\,\,{{m}^{3}},\) thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là 100.000/\({{m}^{2}}\) và giá tôn làm thành xung quanh thùng là 50.000/\({{m}^{2}}\). Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất?
- A \(3\,\,m.\)
- B
\(1,5\,\,m.\)
- C
\(2\,\,m.\)
- D
\(1\,\,m.\)
Phương pháp giải:
Lập hàm số chi phí theo một ẩn sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi a là chiều dài cạnh đáy hình vuông của hình hộp chữ nhật và b là chiều cao của hình hộp chữ nhật ta có \({{a}^{2}}b=8\) \(\left( a,b>0 \right)\Rightarrow ab=\frac{8}{a}\).
Diện tích đáy hình hộp là \({{a}^{2}}\) và diện tích xung quanh là \(4ab\) nên chi phí để làm thùng tôn là:
\(f(a)=100{{a}^{2}}+50.4ab=100{{a}^{2}}+200ab=100{{a}^{2}}+200.\frac{8}{a}\)
\(=100{{a}^{2}}+\frac{1600}{a}=100\left( {{a}^{2}}+\frac{16}{a} \right)\) (nghìn đồng).
Cách 1:
\(f'(a) = 200a - \frac{{1600}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow 200{a^3} = 1600 \Leftrightarrow {a^3} = 8 \Leftrightarrow a = 2\).
Bảng biến thiên:
Vậy chi phí nhỏ nhất bằng 1 200 000 đồng khi và chỉ khi cạnh đáy hình hộp bằng 2m.
Cách 2:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có \({{a}^{2}}+\frac{16}{a}={{a}^{2}}+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}\ge 3\sqrt(3){{{a}^{2}}.\frac{8}{a}.\frac{8}{a}}=3.4=12\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \({{a}^{2}}=\frac{8}{a}\Leftrightarrow a=2\).
Vậy chi phí nhỏ nhất bằng 1 200 000 đồng khi và chỉ khi cạnh đáy hình hộp bằng 2m.
Câu hỏi trước
