Phương pháp giải:

Tính bán kính đáy và đường cao rồi áp dụng công thức thể tích hình nón để tính thể tích.

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ với $BC$ là đường kính của đáy. Khi đó $r=HC=\frac{BC}{2}=\sqrt{3},\,AH$ là đường cao.

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông cân $ABC$ ta có

$A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}=12\Rightarrow A{{C}^{2}}=\frac{12}{2}=6.$

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông  $AHC$ ta có

$A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}=6-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=3\Rightarrow AH=\sqrt{3}.$

Từ đó thể tích của nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.AH=\frac{1}{3}\pi {{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}.\sqrt{3}=\pi \sqrt{3}.$

Chọn đáp án D