Phương pháp giải:

Gọi số phức cần tìm là $z=a+bi$, thay vào các hệ thức trong bài và tìm $a,b\Rightarrow z$.

Số phức $z=a+bi$ là số thuần ảo nếu $a=0$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $z=a+bi\left( z\ne 4 \right)$ , ta có $|z-3i|=5\Leftrightarrow |a+bi-3i|=5$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=25$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-6b=16$  (1)

Mặt khác $\frac{z}{{z - 4}} = \frac{{a + bi}}{{a + bi - 4}} = \frac{{(a + bi)(a - 4 - bi)}}{{{{(a - 4)}^2} + {b^2}}} = \frac{{({a^2} - 4a + {b^2}) - 4bi}}{{{{(a - 4)}^2} + {b^2}}}$

$\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo khi ${{a}^{2}}-4a+{{b}^{2}}=0$  (2)

Giải hệ (1) và (2):

Lấy  trừ  vế với vế ta được:

$4a-6b=16\Leftrightarrow 2a-8=3b\Leftrightarrow 2\left( a-4 \right)=3b\Leftrightarrow a-4=\frac{3b}{2}$.

Thay $a-4=\frac{3b}{2}$ vào  ta được:

$a.\frac{{3b}}{2} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow b\left( {\frac{{3a}}{2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b =  - \frac{{3a}}{2}\end{array} \right.$.

Nếu $b=0$ thì $a=4\Rightarrow z=4$ (loại do $z\ne 4$

Nếu $b=-\frac{3a}{2}$ thì $a - 4 =  - \frac{{9a}}{4} \Leftrightarrow a = \frac{{16}}{{13}}$

$\Rightarrow b =  - \frac{{24}}{{13}} \Rightarrow z = \frac{{16}}{{13}} - \frac{{24}}{{13}}i$ (thỏa mãn)

Vậy có 1  số phức thỏa mãn bài toán.

Chọn D