Phương pháp giải:

$\begin{array}{l}\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\\\left( {u.v} \right)' = u'v + v'u\end{array}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}y' = 3.\sqrt {{x^2} + 1}  + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = \dfrac{{3.\left( {{x^2} + 1} \right) + 3{x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = \dfrac{{6{x^2} - x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}$

Phương pháp giải:

Gọi điểm $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$. Tiếp tuyến có hệ số góc là $f'\left( {{x_0}} \right)$.

Đường thẳng tạo với 2 trục tọa độ tam giác vuông cân khi hệ số góc thỏa mãn $\left| k \right| = 1$

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến tại M.

Khi đó: $\left| {f'\left( {{x_0}} \right)} \right| = 1$

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{1.\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow \left| {f'\left( {{x_0}} \right)} \right| = \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow \left| {2{x_0} - 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 1\end{array} \right.\end{array}$

${x_0} = 2 \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) =  - 1;f\left( {{x_0}} \right) = 1$.

Tiếp tuyến: $y =  - \left( {x - 2} \right) + 1 =  - x + 3$

${x_0} = 1 \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) =  - 1;f\left( {{x_0}} \right) = 0$

Tiếp tuyến: $y =  - \left( {x - 1} \right) =  - x + 1$