Phương pháp giải:

Chia cả từ và mẫu của M cho ${\sin ^2}\alpha$

Lời giải chi tiết:

$\cot \alpha  = 3 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  \ne 0$

Chia cả tử và mẫu của M cho ${\sin ^2}\alpha$ ta được:

$\begin{array}{l}M = \dfrac{{1 + 2\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + 2\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + 2021}}\\ = \dfrac{{1 + 2.\tan \alpha  + {{\tan }^2}\alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha  + 2021}} = \dfrac{5}{{406}}\end{array}$

Vậy $M = \dfrac{5}{{406}}$