Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất: $\frac{z}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{\overline z }};\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|$, $\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\frac{{1 + 2i}}{{\bar z}} = \frac{{\left( {1 - i} \right).z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + 2i}}{{\bar z}} = \frac{{\left( {1 - i} \right)}}{{\overline z }} + 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + 2i - 1 + i}}{{\overline z }} = 1 + 3i\\ \Leftrightarrow \frac{{3i}}{{\overline z }} = 1 + 3i\\ \Rightarrow \frac{{\left| {3i} \right|}}{{\left| {\overline z } \right|}} = \left| {1 + 3i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{3}\end{array}$