Phương pháp giải:

+ O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của O lên (ABC) là trực tâm của tam giác ABC  và có thể tích ${V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC$.

+ Tìm (P).

+ Tìm OA, OB, OC.

+ thể tích ${V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $d{\left( {O,\left( P \right)} \right)_{\max }} \Leftrightarrow d\left( {O,\left( P \right)} \right) = OM$. Hay $OM \bot \left( P \right) \equiv \left( {ABC} \right)$

Mà OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

Suy ra M là trực tâm tam giác ABC.

$\begin{array}{l} =  > \left( P \right):1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\end{array}$

Giả sử $A \in Ox =  > A\left( {a;0;0} \right) =  > a = 14 = OA$

Tương tự ta có $OB = 7;OC = \frac{{14}}{3}$.

=> ${V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{{686}}{9}$.