Phương pháp giải:

Điểm H là trực tâm của tam giác ABC

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AH}  \bot \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm H (a, b, c).

$\begin{array}{l}AH = \left( {a - 1;b;c - 1} \right)\\BH = \left( {a + 2;b - 1;c - 3} \right)\end{array}$

$\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3; - 3} \right)$

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 9; - 3; - 12} \right)$

Điểm H là trực tâm của tam giác ABC

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AH}  \bot \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right).1 + b.1 + \left( {c - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0\\\left( {a + 2} \right).0 + \left( {b - 1} \right).4 + \left( {c - 3} \right).\left( { - 1} \right) = 0\\3.\left( {a - 1} \right) + b + 4.\left( {c - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{8}{{13}}\\b = \frac{7}{{13}}\\c = \frac{{15}}{{13}}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $H\left( {\frac{8}{{13}};\frac{7}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)$