Phương pháp giải:

Sử dụng Vi ét trong phương trình phức để lập hệ phương trình liên quan đến phần thực và phần ảo của w.

Lời giải chi tiết:

Đặt $w = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$. Do $w + 2i$ và $2w - 3$ là 2 nghiệm thực của phương trình ${z^2} + az + b = 0$ nên ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}w + 2i + 2w - 3 =  - a\\\left( {w + 2i} \right)\left( {2w - 3} \right) = b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3x - 3 + \left( {3y + 2} \right)i = 0\\\left[ {x + \left( {2 + y} \right)i} \right]\left( {2x - 3 + 2yi} \right) = b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + a - 3 + \left( {3y + 2} \right)i = 0\\2{x^2} - 3x - 2y - {y^2} + \left( {2xy + 4x + 2xy - 6 - 3y} \right)i = b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + a - 3 = 0\\3y + 2 = 0\\2{x^2} - 3x - 2y - {y^2} = b\\2xy + 4x + 2xy - 6 - 3y = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{w}} = 3 - \frac{2}{3}i\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {3 - \frac{2}{3}i + 2i} \right| = \frac{{\sqrt {97} }}{3}\\ \Rightarrow T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}\end{array}$