Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ .
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(F\left( x \right) = 3{f^4}\left( x \right) + 2{f^2}\left( x \right) + 5\).
Phương pháp giải:
- Tính đạo hàm \(F'\left( x \right)\).
- Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình \(F'\left( x \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\(F'\left( x \right) = 12{f^3}\left( x \right)f'\left( x \right) + 4f\left( x \right)f'\left( x \right)\)
Cho \(F'\left( x \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 12{f^3}\left( x \right)f'\left( x \right) + 4f\left( x \right)f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4f\left( x \right)f'\left( x \right)\left[ {3{f^2}\left( x \right) + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)
+) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có \(4\) nghiệm đơn (do đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại \(4\) điểm phân biệt)
+) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm đơn (do hàm số đã cho có 3 điểm cực trị).
Dễ thấy các nghiệm của hai phương trình đều phân biệt.
Vậy hàm số \(F\left( x \right)\) có tất cả \(7\) điểm cực trị.
Chọn D.