Phương pháp giải:

- Tìm trọng tâm tam giác \(ABC\) : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\)

- Viết phương trình đường thẳng qua G và vuông góc \(\left( \alpha  \right)\).

- Tìm giao điểm của đường thẳng trên với \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì \(G\left( {1; - 2;2} \right)\).

Gọi \(\Delta \)  là đường thẳng đi qua \(G\) và vuông góc với \(\left( \alpha  \right):x + y + z - 4 = 0\).

Khi đó \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {1;1;1} \right)\) nên \(\Delta \) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\)

Vì \(H\) là hình chiếu của \(G\) lên \(\left( \alpha  \right)\) nên \(H = \Delta  \cap \left( \alpha  \right)\).

Khi đó, tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + t\\z = 2 + t\\x + y + z - 4 = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + t} \right) + \left( { - 2 + t} \right) + \left( {2 + t} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow  - 3 + 3t = 0 \Leftrightarrow t = 1.\end{array}\)

Vậy \(H\left( {2; - 1;3} \right)\).

Chọn D.