Phương pháp giải:

- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng \(2\sqrt 5 \) \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt 5 \).

- Tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' = {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4\).

+ Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng \(2\sqrt 5 \) \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt 5 \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 20\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m + 1 > 2\\m + 1 <  - 2\end{array} \right.\\4{\left( {m + 1} \right)^2} - 16 = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 4\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left\{ {2; - 4} \right\}\).

Chọn A.