Phương pháp giải:

- Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1\).

- Tìm điều kiện để \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' = {x^2} - 2x + m\).

+ Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 1 - m > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\4 - 4m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m = \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{4}\).

Chọn C.