Phương pháp giải:

- Tìm đạo hàm của \(y = g\left( x \right)\).

- Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) dựa vào tương giao đồ thị hàm số.

- Lập bảng biến thiên hàm số \(y = g\left( x \right)\) rồi kết luận các điểm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{{2{x^3}}}{6} + {x^2} - x + 2020\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {x^2} + 2x - 1\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = {x^2} - 2x + 1\).

Vẽ hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = {x^2} - 2x + 1\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Ta có BBT hàm số \(y = g\left( x \right)\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 2 điêm cực tiểu và 1 điểm cực đai.

Chọn A.