Phương pháp giải:

- Tìm vecto pháp tuyến của $\left( \alpha  \right)$ dựa vào công thức tính tích có hướng của hai vecto: $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]$, với $B$ là điểm bất kì thuộc $d$.

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {a;b;c} \right)$:

$a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

 - Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ và chọn điểm thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}$ có 1 vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 2} \right)$ và đi qua $B\left( { - 1;1;0} \right)$.

Ta có: $A\left( {3;1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;0;1} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;6;4} \right)$.

Gọi $\overrightarrow {{n_\alpha }}$ là 1 vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \\AB \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {AB} \end{array} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;6;4} \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua $A\left( {3;1; - 1} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;6;4} \right)$ có phương trình là:

$1.\left( {x - 3} \right) + 6.\left( {y - 1} \right) + 4.\left( {z + 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + 6y + 4z - 5 = 0$.

Thay tọa độ điểm $M\left( {1;0;1} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ ta có: $1 + 6.0 + 4.1 - 5 = 0 \Rightarrow M \in \left( \alpha  \right)$.

Chọn C.