Phương pháp giải:

- Tìm vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) dựa vào công thức tính tích có hướng của hai vecto: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\), với \(B\) là điểm bất kì thuộc \(d\).

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {a;b;c} \right)\):

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

 - Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và chọn điểm thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) có 1 vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 2} \right)\) và đi qua \(B\left( { - 1;1;0} \right)\).

Ta có: \(A\left( {3;1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;0;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;6;4} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là 1 vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \\AB \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {AB} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;6;4} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {3;1; - 1} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;6;4} \right)\) có phương trình là:

\(1.\left( {x - 3} \right) + 6.\left( {y - 1} \right) + 4.\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 6y + 4z - 5 = 0\).

Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) ta có: \(1 + 6.0 + 4.1 - 5 = 0 \Rightarrow M \in \left( \alpha  \right)\).

Chọn C.