Phương pháp giải:

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối, tính tích phân bằng các công thức tính tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_1^5 {\dfrac{{2\left| {x - 2} \right| + 1}}{x}dx} \\\,\,\,\,\, = \int\limits_1^2 {\dfrac{{2\left( {2 - x} \right) + 1}}{x}dx + \int\limits_2^5 {\dfrac{{2\left( {x - 2} \right) + 1}}{x}} } \\\,\,\,\, = \int\limits_1^2 {\dfrac{{5 - 2x}}{x}dx}  + \int\limits_2^5 {\dfrac{{2x - 3}}{x}dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{5}{x} - 2} \right)dx}  + \int\limits_2^5 {\left( {2 - \dfrac{3}{x}} \right)dx} \\\,\,\,\, = \left. {\left( {5\ln x - 2x} \right)} \right|_1^2 + \left. {\left( {2x - 3\ln x} \right)} \right|_2^5\\\,\,\,\, = 5\ln 2 - 4 + 2 + 10 - 3\ln 5 - 4 + 3\ln 2\\\,\,\,\, = 4 + 8\ln 2 - 3\ln 5\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow S = a - b = 8 + 3 = 11.\end{array}$

Chọn C.