Phương pháp giải:

- Xác định VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} \) của đường thẳng \(d\) và VTCP \(\overrightarrow {{u_{Ox}}} \) của trục \(Ox\).

- Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \bot Ox\\\Delta  \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow i  = 0\\\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow i ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\).

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1; - 3} \right)\), trục \(Ox\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \bot Ox\\\Delta  \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow i  = 0\\\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow i ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {0; - 3;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {0; - 3;1} \right)\) là: \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 3t\\z = t\end{array} \right.\).

Chọn D.