Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Để hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\2 \notin \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

- Đưa bất phương trình về dạng \(g\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) \ge m\).

Lời giải chi tiết:

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x - 2m} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 2mx + 3m - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2{x^2} - 4x - 2mx + 4m - {x^2} + 2mx - 3m + 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} - 4x + m + 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

+ Để hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + m + 5 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\,\,\left( 1 \right)\\2 \notin \left( {2; + \infty } \right)\,\,\left( {Luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\)

+ Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} - 4x + m + 5\) ta có \(f'\left( x \right) = 2x - 4 = 2\left( {x - 2} \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\), do đó hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

 \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = m + 1.\)

Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 1\).

Chọn A.