🍀 ƯU ĐÃI -70%! XUẤT PHÁT SỚM‼️
Câu hỏi:
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a√2. Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng Q=MA2+MB2+MC2+MD2+MS2 nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABCD và V2 là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số V2V1 bằng
Phương pháp giải:
- Gọi I là điểm thỏa mãn →IA+→IB+→IC+→ID+→IS=→0, xác định vị trí điểm I và chứng minh Qmin⇔MImin, khi đó M là hình chiếu của I lên (SCD) hay MI⊥(SCD).
- Xác định tỉ số d(M;(ABCD))d(S;(ABCD))=MESE, sư dụng định lí Ta-lét và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính tỉ số.
- Tính tỉ số thể tích bằng tỉ số chiều cao nhân tỉ số diện tích đáy.
Lời giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn →IA+→IB+→IC+→ID+→IS=→0.
Ta có:
Q=MA2+MB2+MC2+MD2+MS2Q=(→MI+→IA)2+(→MI+→IB)2+(→MI+→IC)2+(→MI+→ID)2+(→MI+→IS)2Q=5MI2+2→MI(→IA+→IB+→IC+→ID+→IS)+IA2+IB2+IC2+ID2+IS2Q=5MI2+IA2+IB2+IC2+ID2+IS2
Do các điểm I,A,B,C,D,S cố định nên IA2+IB2+IC2+ID2+IS2 không đổi, do đó Qmin⇔MImin
Khi đó M là hình chiếu của I lên (SCD) hay MI⊥(SCD).
Gọi O=AC∩BD ta có SO⊥(ABCD) và:
→IA+→IB+→IC+→ID+→IS=→0⇔(→IA+→IC)+(→IB+→ID)+→IS=→0.
⇔2→IO+2→IO+→IS=0⇔4→IO=→IS.
Gọi E là trung điểm của CD. Ta có: {CD⊥OECD⊥SO⇒CD⊥(SOE)⇒(SOE)⊥(SCD) ⇒IM⊂(SOE).
Trong (SOE) kẻ OH∥IM⇒OH⊥SE.
Ta có:
SE=√SC2−CE2=√2a2−a24=a√72SO=√SE2−OE2=√7a24−a24=a√62SMSH=SISO=45SHSE=SO2SE2=6a24:7a24=67⇒SMSE=SMSH.SHSE=45.67=2435⇒MESE=1135
Ta có: SM∩(ABCD)=E⇒d(M;(ABCD))d(S;(ABCD))=MESE=1135.
Vậy V2V1=VM.ACDVS.ABCD=13.d(M;(ABCD)).SACD13.d(S;(ABCD)).SABCD=1135.12=1170.
Chọn C.