Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Do các mặt cầu tâm \({O_1},\,\,{O_2},\,\,{O_3}\) đôi một tiếp xúc ngoài nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{R_1} + {R_2} = {O_1}{O_2}\\{R_2} + {R_3} = {O_2}{O_3}\\{R_3} + {R_1} = {O_3}{O_1}\end{array} \right.\). 

Kẻ \({O_3}H \bot {O_1}A\), khi đó \({A_1}{A_3}{O_3}H\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow {A_1}H = {O_3}{A_3} = {R_3}\) \( \Rightarrow {O_1}H = {O_1}{A_1} - {A_1}H = {R_1} - {R_3}\).

Áp dụng định lí Pytago ta có:

\(\begin{array}{l}{O_1}{O_3}^2 = {O_1}{H^2} + {O_3}{H^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{R_1} + {R_3}} \right)^2} = {\left( {{R_1} - {R_3}} \right)^2} + {8^2}\\ \Leftrightarrow R_1^2 + 2{R_1}{R_3} + R_3^2 = R_1^2 - 2{R_1}{R_3} + R_3^2 + 64\\ \Leftrightarrow 4{R_1}{R_3} = 64 \Leftrightarrow {R_1}{R_3} = 16\end{array}\)

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được \({R_1}{R_2} = 9,\,\,{R_2}{R_3} = 25\).

\( \Rightarrow {\left( {{R_1}{R_2}{R_3}} \right)^2} = 3600 \Leftrightarrow {R_1}{R_2}{R_3} = 60\) \( \Rightarrow {R_1} = \dfrac{{12}}{5},\,\,{R_2} = \dfrac{{15}}{4},\,\,{R_3} = \dfrac{{20}}{3}\).

Ta có hình vẽ chính xác như sau:

Dựng hình lăng trụ đứng \({A_1}{A_2}{A_3}.BC{O_3}\).

\( \Rightarrow {V_{{A_1}{A_2}{A_3}.{O_1}{O_2}{O_3}}} = {V_{{A_1}{A_2}{A_3}.BC{O_3}}} - {V_{{O_3}.BC{O_2}{O_3}}}\).

Ta có: \(B{O_1} = {R_3} - {R_1} = \dfrac{{64}}{{15}},\,\,C{O_2} = {R_3} - {R_2} = \dfrac{{35}}{{12}}\)

\({V_{{A_1}{A_2}{A_3}.BC{O_3}}} = {R_3}.\dfrac{1}{2}{A_2}{A_3}.{A_2}{A_1} = \dfrac{{20}}{3}.\dfrac{1}{2}.6.8 = 160\).

\({S_{BC{O_2}{O_1}}} = \dfrac{1}{2}BC.\left( {C{O_2} + B{O_1}} \right) = \dfrac{1}{2}.6.\left( {\dfrac{{35}}{{12}} + \dfrac{{64}}{{15}}} \right) = \dfrac{{431}}{{20}}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{O_3}C \bot BC\\{O_3}C \bot C{A_2}\end{array} \right. \Rightarrow {O_3}C \bot \left( {BC{O_2}{O_1}} \right)\).

\( \Rightarrow {V_{{O_3}.BC{O_2}{O_1}}} = \dfrac{1}{3}{O_3}C.{S_{BC{O_2}{O_1}}} = \dfrac{1}{3}.8.\dfrac{{431}}{{20}} = \dfrac{{862}}{{15}}\).

Vậy \( \Rightarrow {V_{{A_1}{A_2}{A_3}.{O_1}{O_2}{O_3}}} = {V_{{A_1}{A_2}{A_3}.BC{O_3}}} - {V_{{O_3}.BC{O_2}{O_3}}} = 160 - \dfrac{{862}}{{15}} = \dfrac{{1538}}{{15}}\).

Chọn D.