Phương pháp giải:

- Xét tích phân \(\int\limits_0^{{\pi ^2}} {f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx} \), sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt x \).

- Xét tích phân \(\int\limits_0^\pi  {xf'\left( x \right)\sin xdx}  = 5\), sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\sin x\\f'\left( x \right)dx = dv\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi ^2}} {f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx} \) .

Đặt \(t = \sqrt x  \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow 2tdt = dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = {\pi ^2} \Rightarrow t = \pi \end{array} \right.\), khi đó ta có \(I = \int\limits_0^\pi  {f\left( t \right)\cos \left( t \right)2tdt}  = \int\limits_0^\pi  {2f\left( x \right)\cos x.xdx} \).

Xét tích phân  \(\int\limits_0^\pi  {xf'\left( x \right)\sin xdx}  = 5\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\sin x\\f'\left( x \right)dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {\sin x + x\cos x} \right)du\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^\pi  {xf'\left( x \right)\sin xdx}  = 5\\ \Leftrightarrow \left. {\left( {x\sin x.f\left( x \right)} \right)} \right|_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {\left[ {f\left( x \right)\sin x + xf\left( x \right)\cos x} \right]dx}  = 5\\ \Leftrightarrow  - \int\limits_0^\pi  {f\left( x \right)\sin xdx}  - \int\limits_0^\pi  {xf\left( x \right)\cos xdx}  = 5\\ \Leftrightarrow  - 20 - \dfrac{I}{2} = 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{I}{2} =  - 25\\ \Leftrightarrow I =  - 50\end{array}\)

Chọn B.