Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \cot x\), tìm khoảng giá trị của \(t\) ứng với \(x \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

- Đưa hàm số về dạng hàm bậc nhất trên bậc nhất ẩn \(t\).

- Tìm điều kiện để hàm số ban đầu nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến hay nghịch biến trên khoảng giá trị của \(t\).

- Hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ad \ne bc} \right)\) đồng biến (nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\,\,\left( {y' < 0} \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {a;b} \right)\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \cot x\), hàm số nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên với\(x \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\).

Khi đó bài toán trở thành: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{t - 1}}{{2t - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = \dfrac{{ - m + 2}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}} > 0\\\dfrac{m}{2} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{m}{2} \le 0\\\dfrac{m}{2} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 0\).

Mà \(m\) là số tự nhiên nên \(m = 0\).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.