Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của từng hàm số.

- Xét dấu \(y'\) và kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

+) Xét hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) và \(y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne  - 1\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) đồng biến trên khoảng xác định.

+) Xét hàm số \(y =  - {x^4} + {x^2} - 2\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\) và \(y' =  - 4{x^3} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\) nên hàm số \(y =  - {x^4} + {x^2} - 2\) không đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

+) Xét hàm số \(y = {x^3} + 3x - 5\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\) và \(y' = 3{x^2} + 3 > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(y = {x^3} + 3x - 5\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Vậy (I) và (III) thỏa mãn.

Chọn D.