Câu hỏi:
Cho \(S = 1 + {2^1} + {2^2} + \ldots + {2^9}\). Hãy so sánh S với \({5.2^8}\).
Phương pháp giải:
Nhân cả hai vế của S với 2. Sau đó so sánh S với số trung gian.
Từ đó so sánh được S với \({5.2^8}\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}S = 1 + {2^1} + {2^2} + \cdots + {2^9}\\ \Rightarrow 2.S = 2 + {2^2} + {2^3} + \ldots + {2^{10}}\\ \Rightarrow 2S - S = 2 + {2^2} + {2^3} + \ldots + {2^{10}} - \left( {1 + {2^1} + {2^2} + \cdots + {2^9}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {2^{10}} - 1.\\ \Rightarrow S = {2^{10}} - 1 < {2^{10}} = {2^2}{.2^8} = {4.2^8} < {5.2^8}\end{array}\)
Ta có: \(S = {2^{10}} - 1 = {2^2}{.2^8} - 1 = {4.2^8} - 1\)
Vì \({4.2^8} < {5.2^8} \Rightarrow {4.2^8} - 1 < {5.2^8}\)
Vậy \(S < {5.2^8}\).
Chọn B.