Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm: $\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + b} }}dx = \frac{2}{a}{{\left( {ax + b} \right)}^{\frac{1}{2}}} + C}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $I = \int_1^2 {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }}}$

$\Rightarrow I = \int_1^2 {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)x} \left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt x } \right)}}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_1^2 {\frac{{\left( {\sqrt {x + 1}  - \sqrt x } \right)dx}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)x} }}} \\ \Leftrightarrow I = \int_1^2 {\left[ {\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right]dx} \\ \Leftrightarrow I = \left. {\left[ {2\sqrt x  - 2\sqrt {x + 1} } \right]} \right|_1^2\\ \Rightarrow I = \sqrt {32}  - \sqrt {12}  - 2\end{array}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 32\\b = 12\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 46$

Chọn D.