Phương pháp giải:

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số, đặt $t = 2x$.

- Tính tích phân bằng phương pháp từng phần: $\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu}$.

- Sử dụng tính chất tích phân: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt}$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $t = 2x \Rightarrow dt = 2dx$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.$, khi đó ta có: $\int\limits_0^1 {x.f'\left( {2x} \right)dx}  = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^2 {tf'\left( t \right)dt}$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right.$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^2 {tf'\left( t \right)dt}  = \left. {tf\left( t \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2f\left( 2 \right) - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.16 - 4 = 28\end{array}$

Vậy $\int\limits_0^1 {x.f'\left( {2x} \right)dx}  = \dfrac{1}{4}.28 = 7$.

Chọn D.