Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính nhanh đường cao trong tam giác đều cạnh $a$ là $\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ để tính chiều cao khối chóp.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài $AC$.

- Tính diện tích tam giác $ABC$: ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC$.

- Tính thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3}Bh$ trong đó $B,\,h$ lần lượt là diện tích đáy và chiều cao khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ $\Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét tam giác vuông $ABC$: $AC = AB.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$ $\Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}$.

Vậy ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}$.

Chọn D.