Phương pháp giải:

- Biến đổi $\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\,\,\forall x \in \mathbb{R}$, sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm: $\int {\dfrac{{du}}{{{u^2}}}}  =  - \dfrac{1}{u} + C$.

- Sử dụng giả thiết $f\left( 2 \right) =  - \dfrac{4}{{19}}$ để tìm hằng số $C$, từ đó tính $f\left( 1 \right)$.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: $f'\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: $\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx}  = \int {{x^3}dx}$ $\Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + C$.

Lại có: $f\left( 2 \right) =  - \dfrac{4}{{19}}$$\Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( 2 \right)}} = 4 + C \Leftrightarrow \dfrac{{19}}{4} = 4 + C$ $\Leftrightarrow C = \dfrac{3}{4}$.

Do đó $- \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{4}$.

Thay $x = 1$ ta có $- \dfrac{1}{{f\left( 1 \right)}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$. Vậy $f\left( 1 \right) =  - 1$.  

Chọn C.