Phương pháp giải:

- Biến đổi \(\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {\dfrac{{du}}{{{u^2}}}}  =  - \dfrac{1}{u} + C\).

- Sử dụng giả thiết \(f\left( 2 \right) =  - \dfrac{4}{{19}}\) để tìm hằng số \(C\), từ đó tính \(f\left( 1 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: \(f'\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx}  = \int {{x^3}dx} \) \( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + C\).

Lại có: \(f\left( 2 \right) =  - \dfrac{4}{{19}}\)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( 2 \right)}} = 4 + C \Leftrightarrow \dfrac{{19}}{4} = 4 + C\) \( \Leftrightarrow C = \dfrac{3}{4}\).

Do đó \( - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{4}\).

Thay \(x = 1\) ta có \( - \dfrac{1}{{f\left( 1 \right)}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1\). Vậy \(f\left( 1 \right) =  - 1\).  

Chọn C.