Phương pháp giải:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.

- Sử dụng định lí: $\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)$.

Lời giải chi tiết:

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow BC\parallel AD$ $\Rightarrow BC\parallel \left( {SAD} \right) \supset SD$.

$\Rightarrow d\left( {SD;BC} \right) = d\left( {BC;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\\AB \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)$.

$\Rightarrow d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = AB = a\sqrt 3$.

Vậy $d\left( {SD;BC} \right) = a\sqrt 3$.

Chọn B.