Phương pháp giải:

- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \le 0$ với mọi $x \in D$.

- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.

+ Biện luận theo $m$ để xét dấu đạo hàm.

- Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6m{\rm{x}}$ $\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2m$.

Trường hợp 1: $m < 0$

Dễ thấy hàm số trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ đồng biến với mọi $m < 0$ (loại)

Trường hợp 2: $m = 0$

Với $m=0$ thì $y'=3x^2 \ge 0$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

Do đó hàm số đồng biến trên $\left( {0;1} \right)$ (loại)

Trường hợp 3: $m > 0$

Dễ thấy hàm số trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ nghịch biến $\Leftrightarrow 2m \ge 1 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}$.

Chọn A.