Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính nhanh chiều cao tam giác đều cạnh $a$ là $\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

- Tính thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\Delta SAB$ đều cạnh $2a$ $\Rightarrow SH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

$ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ $\Rightarrow {S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}$.

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .4{a^2} = \dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

Chọn B.