Phương pháp giải:

- Chứng minh \(\Delta ABC\) đều, sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh a là \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

- Xác định góc giữa SC và (SAB) là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên (SAB).

- Sử dụng tỉ số lượng giác và định lí Pytago tính độ dài SA.

- Sử dụng công thức tính thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC có AB = BC, \(\,\angle ABC = {60^0}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều, có cạnh \(AB = a\)\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow CI \bot AB\) (do tam giác ABC đều).

Mà \(CI \bot SA \Rightarrow CI \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \) Hình chiếu của SC lên (SAB) là SI.

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SI} \right) = \angle ISC = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta SIC\) vuông cân tại I \( \Rightarrow SI = IC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\Delta SAI\) vuông tại A \( \Rightarrow SA = \sqrt {S{I^2} - A{I^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \(V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\).

Chọn C.