Phương pháp giải:

- Gọi H là trung điểm của AB, chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh, đổi sang tính khoảng cách từ H đến (SAC).

- Sử dụng phương pháp 3 nét để dựng khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên.

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB vuông cân tại S nên \(SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right);\,\,SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AM. Do tam giác ABC đều nên \(BM \bot AC\), mà \(HN\parallel BM\) (do HN là đường trung bình của tam giác ABM) \( \Rightarrow HN \bot AC\).

Trong (SHN) kẻ \(HK \bot SN\,\,\left( {K \in SN} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HN\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow AC \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SN\\HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK\end{array}\)

Lại có: \(BH \cap \left( {SAC} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{{BA}}{{HA}} = 2\).

\( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HK\).

Tam giác SAB vuông cân tại S, có SA = a \( \Rightarrow AB = SA\sqrt 2  = a\sqrt 2 \) và \(SH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow \) Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow BM = a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\) \( \Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHN có:

\(HK = \dfrac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{3{a^2}}}{8}} }} = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}\).

Chọn A.