Phương pháp giải:

Để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = {x_0}$ thì ${x_0}$ thuộc tập xác định của hàm số và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$, $x = 2 \in D$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2{x^2} - 7x + 6}}{{x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x - 3} \right) = 1\\f\left( 2 \right) = 2m + 5\end{array}$

Để hàm số liên tục tại $x = 2$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$$\Leftrightarrow 2m + 5 = 1 \Leftrightarrow m =  - 2$.

Chọn A.