Phương pháp giải:

- Xác định các điểm \(M,\,\,N\), chứng minh \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SC,\,\,SD\).

- Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính đường cao \(SO\) với \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\), từ đó tính \({V_{S.ABCD}}\).

- Tách \({V_{S.ABMN}} = {V_{S.ABM}} + {V_{S.AMN}}\).

- Sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson.

Lời giải chi tiết:

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAC\) nên \(AG\) cắt \(SC\) tại trung điểm \(M\) của \(SC\), tương tự \(BG\) cắt \(SD\) tại trung điểm \(N\) của \(SD\).

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) và \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OI\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot SI\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB\\\left( {ABCD} \right) \supset OI \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SI;OI} \right) = \angle SIO = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(SOI\) có: \(SO = OI.\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 \).

Suy ra \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \dfrac{1}{3}4{a^2} \cdot a\sqrt 3  = \dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có:

\(\dfrac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}} \cdot \dfrac{{SB}}{{SB}} \cdot \dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow {V_{S.ABM}} = \dfrac{1}{2}.{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\).

\(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}} \cdot \dfrac{{SN}}{{SD}} \cdot \dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{4}.{V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\).

Vậy \({V_{S.ABMN}} = {V_{S.ABM}} + {V_{S.AMN}} = \dfrac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\)\( = \dfrac{3}{8}\dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn A.