Phương pháp giải:

- Hàm đa thức, phân thức liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = {x_0}$$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Hàm số đã cho liên tục trên $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

Ta xét tính liên tục của hàm số tại $x =  - 2$.

Ta có

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x - 2} \right) =  - 4\\f\left( { - 2} \right) =  - 4\end{array}$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)$, do đó hàm số liên tục tại $x =  - 2$.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$.

Chọn C.