Câu hỏi:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ne  - 2\\\,\,\, - 4\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x =  - 2\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A Hàm số chỉ liên tục tại điểm \(x =  - 2\) và gián đoạn tại các điểm \(x \ne  - 2\).
  • B Hàm số không liên tục trên \(\mathbb{R}\).
  • C Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
  • D Hàm số không liên tục tại điểm \(x =  - 2\).    

Phương pháp giải:

- Hàm đa thức, phân thức liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Hàm số đã cho liên tục trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

Ta xét tính liên tục của hàm số tại \(x =  - 2\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x - 2} \right) =  - 4\\f\left( { - 2} \right) =  - 4\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\), do đó hàm số liên tục tại \(x =  - 2\).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Chọn C.


Quảng cáo

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay