Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ne - 2\\\,\,\, - 4\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = - 2\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A Hàm số chỉ liên tục tại điểm \(x = - 2\) và gián đoạn tại các điểm \(x \ne - 2\).
- B Hàm số không liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- C Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- D Hàm số không liên tục tại điểm \(x = - 2\).
Phương pháp giải:
- Hàm đa thức, phân thức liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Hàm số đã cho liên tục trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Ta xét tính liên tục của hàm số tại \(x = - 2\).
Ta có
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 4\\f\left( { - 2} \right) = - 4\end{array}\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\), do đó hàm số liên tục tại \(x = - 2\).
Vậy hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Chọn C.
Câu hỏi trước
