Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}}.$

- Hàm phân thức liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}}$ xác định khi ${x^2} - 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right..$

$\Rightarrow$ Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2;3} \right\}$.

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right),\,\,\left( {2;3} \right),\,\,\left( {3; + \infty } \right)$.

Chọn C.