Phương pháp giải:

Cho elip $\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ và đường thẳng $\left( d \right):\,\,ax + by + c = 0$.

Tọa độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( E \right)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\ax + by + c = 0\end{array} \right.$

Sử dụng phương pháp thế để làm xuất hiện phương trình bậc hai từ đó xác định điều kiện để $\left( d \right)$ và $\left( E \right)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ và $\left( E \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + m = 0\\\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - m\\\frac{{{{\left( {2y - m} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - m\\{\left( {2y - m} \right)^2} + 4{y^2} = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - m\\8{y^2} - 4my + {m^2} - 4 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.$

Để đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 16{m^2} - 4.8.\left( {{m^2} - 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 32{m^2} + 128 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} < 8\\ \Leftrightarrow  - 2\sqrt 2  < m < 2\sqrt 2 \end{array}$

Vậy với $- 2\sqrt 2  < m < 2\sqrt 2$ thì đường thẳng $\Delta :\,\,x - 2y + m = 0$ cắt elip $\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$ tại hai điểm phân biệt.

Chọn D.