Phương pháp giải:

Cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,ax + by + c = 0\).

Tọa độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( E \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\ax + by + c = 0\end{array} \right.\)

Sử dụng phương pháp thế để làm xuất hiện phương trình bậc hai từ đó xác định điều kiện để \(\left( d \right)\) và \(\left( E \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( E \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + m = 0\\\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - m\\\frac{{{{\left( {2y - m} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - m\\{\left( {2y - m} \right)^2} + 4{y^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - m\\8{y^2} - 4my + {m^2} - 4 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) cắt \(\left( E \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 16{m^2} - 4.8.\left( {{m^2} - 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 32{m^2} + 128 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} < 8\\ \Leftrightarrow  - 2\sqrt 2  < m < 2\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy với \( - 2\sqrt 2  < m < 2\sqrt 2 \) thì đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y + m = 0\) cắt elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) tại hai điểm phân biệt.

Chọn D.