Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$, $\left( {\cos u} \right)' =  - u'\sin u$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( {4x - 1} \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 4\cos \left( {4x - 1} \right)\left[ {\cos \left( {4x - 1} \right)} \right]'\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) =  - 16\cos \left( {4x - 1} \right)\sin \left( {4x - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) =  - 8\sin \left( {8x - 2} \right)\end{array}$

Do $- 1 \le \sin \left( {8x - 2} \right) \le 1\,\,\forall x \Rightarrow  - 8 \le  - 8\sin \left( {8x - 2} \right) \le 8\,\,\,\forall x$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow  - 8 \le f'\left( x \right) \le 8\,\,\,\forall x\\ \Rightarrow \left| {f'\left( x \right)} \right| \le 8\,\,\,\forall x\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}$  

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \sin \left( {8x - 2} \right) =  \pm 1 \Leftrightarrow \cos \left( {8x - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 8x - 2 = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4} + \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{8}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.