Phương pháp giải:

- Xác định mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $AC$. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AC$.  

- Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, tính diện tích tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Gọi $N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\,BC$ ta có:

$MN,\,\,NP$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $SAC,\,\,ABC$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow MN\parallel SA,\,\,NP\parallel AB\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow MN \bot AC\\NP \bot AC\end{array} \right.\\ \Rightarrow AC \bot \left( {MNP} \right)\end{array}$

Do đó thiết diện của mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $AC$ là $\left( {MNP} \right)$.

Ta có $MN = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2},\,\,NP = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}a$.

Vì $MN \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow MN \bot NP$ $\Rightarrow \Delta MNP$ vuông tại $M$.

Vậy ${S_{\Delta MNP}} = \dfrac{1}{2}MN.NP = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}a.\dfrac{1}{2}a = \dfrac{{{a^2}}}{8}$.

Chọn D.