Phương pháp giải:

- Xác định mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(AC\). Từ đó xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AC\).  

- Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, tính diện tích tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,BC\) ta có:

\(MN,\,\,NP\) lần lượt là đường trung bình của tam giác \(SAC,\,\,ABC\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MN\parallel SA,\,\,NP\parallel AB\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow MN \bot AC\\NP \bot AC\end{array} \right.\\ \Rightarrow AC \bot \left( {MNP} \right)\end{array}\)

Do đó thiết diện của mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(AC\) là \(\left( {MNP} \right)\).

Ta có \(MN = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2},\,\,NP = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}a\).

Vì \(MN \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow MN \bot NP\) \( \Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại \(M\).

Vậy \({S_{\Delta MNP}} = \dfrac{1}{2}MN.NP = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}a.\dfrac{1}{2}a = \dfrac{{{a^2}}}{8}\).

Chọn D.