Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( C \right)\) cắt nhau tại một điểm duy nhất tức là đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc nhau. Suy ra, khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng \(d\) bằng \(R\).

Lời giải chi tiết:

Do đường tròn cắt \(Oy\) tại một điểm nên đường tròn tiếp xúc với trục \(Oy\) suy ra \(R = d\left( {I,Oy} \right) = \left| {{x_I}} \right|\).

Phương trình trục \(Oy\) là \(x = 0\).

Đáp án A sai vì: Tâm \(I\left( {0;\,\,5} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {24} \). Ta có \(d\left( {I,Oy} \right) = \left| {{x_I}} \right| \ne R\).

Đáp án B sai vì: Tâm \(I\left( { - 3;\,\, - \frac{5}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{\sqrt {65} }}{2}\). Ta có \(d\left( {I,Oy} \right) = \left| {{x_I}} \right| \ne R\).

Đáp án C đúng vì: Tâm \(I\left( {1;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = 1\). Ta có \(d\left( {I,Oy} \right) = \left| {{x_I}} \right| = R\).

Đáp án D sai vì: Tâm \(I\left( {0;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \). Ta có \(d\left( {I,Oy} \right) = \left| {{x_I}} \right| \ne R\).

Chọn  C