Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa đường thẳng $A'B$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$: góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Tính độ dài đường cao $AA'$ và diện tích đáy ${S_{\Delta ABC}}$.

- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức $V = Sh$.

Lời giải chi tiết:

Vì $AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB$ là hình chiếu vuông góc của $A'B$ lên $\left( {ABC} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;AB} \right) = \angle A'BA = {30^0}$

Xét tam giác vuông $ABC$ vuông tại $B$, $BC = a$, $\angle ACB = {60^0}$ có: $AB = BC.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .$

Vì $AA' \bot \left( {ABC} \right) \supset AB \Rightarrow AA' \bot AB \Rightarrow \Delta ABA'$ vuông tại $A$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow AA' = AB.\tan \angle A'BA\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a\sqrt 3 .\tan {30^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = a\end{array}$

Có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.$

Chọn A.