Phương pháp giải:

- Dựng mặt phẳng đi qua $I$ và vuông góc với $AB'$ (là mặt phẳng $\left( {DIC} \right)$ với $D$ là trung điểm của $AA'$.

- Tính diện tích tam giác $ABC$, từ đó suy ra diện tích tam giác $AIC$.

- Tính độ dài đường cao $A'A$ của lăng trụ và độ dài đường cao $DA$ của hình chóp $D.AIC$.

- Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khối chóp $D.AIC$, từ đó tính được thể tích phần còn lại của khối lăng trụ được chia bởi mặt phẳng $\left( {DIC} \right)$

Lời giải chi tiết:

Gọi $D$ là trung điểm của $AA'$  ta có $ID$ là đường trung bình của tam giác $AA'B$$\Rightarrow ID\parallel A'B$.

Mà $A'B \bot AB'$ (do $ABB'A'$ là hình vuông) $\Rightarrow ID \bot AB'$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên $IC \bot AB$. Mà $AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot IC$

$\Rightarrow IC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow IC \bot AB'$

$\Rightarrow AB' \bot \left( {ICD} \right)$

$\Rightarrow$ Mặt phẳng qua $I$ và vuông  góc với $AB'$  là $\left( {ICD} \right).$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên $AC = BC = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}$.

$\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{{a^2}}}{4}$.

Vì $ABB'A'$ là hình vuông $\Rightarrow AA' = AB = a.$

$\Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{4} = V$

Ta có:

$\begin{array}{l}{V_{D.ACI}} = \dfrac{1}{3}AD.{S_{ACI}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AA'.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{12}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{{12}}.\dfrac{{{a^3}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = {V_1}\end{array}$

$\Rightarrow {V_2} = V - {V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{4} - \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}.$

Chọn C.