Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: $\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\sin x\cos x\\\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}P = \frac{{\sin 2x\cos x}}{{\left( {1 + \cos 2x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}} = \frac{{2\sin x{{\cos }^2}x}}{{2{{\cos }^2}x\left( {1 + \cos x} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sin x}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}} = \tan \frac{x}{2}.\end{array}$

Chọn D.